Soluzione del problema diretto con discretizzazioni diverse per le incognite

Caliari, S. (2005) Soluzione del problema diretto con discretizzazioni diverse per le incognite. Masters thesis, University of Trento.

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Abstract

I metodi deterministici basati sull’aggiornamento di una appropriata funzione associata alle incognite (Level Set Methods) rappresentano una delle metodologie di risoluzione dei problemi inversi. Tali tecniche iterative considerano l’evoluzione di una regione, che rappresenta la soluzione di prova del problema, all’interno del dominio d’indagine. Tale regione è correlata ad una funzione continua definita nello spazio di ricerca (ad esempio la minima distanza tra i punti del dominio d’indagine e il bordo della regione) che viene aggiornata per mezzo di un’equazione di Hamilton-Jacobi. La velocità all’interno di tale espressione è calcolata con l'ausilio di un problema aggiunto (‘adjoint problem’). Quest’ultimo permette di semplificare la derivata della funzione di costo. In particolare, si assume di avere delle sorgenti elettromagnetiche localizzate in corrispondenza dei ricevitori e irradianti un campo dato dalla differenza tra i dati (campo scatterato) e la quantità correlata alla soluzione di prova. In generale, per un problema di imaging elettromagnetico, la qualità della ricostruzione dipende dalla quantità di informazione che può essere estratta dai dati del problema. Nel caso dell’algoritmo IMSA Level Set, la scelta del numero di misure, viste e incognite riveste un ruolo fondamentale per due ragioni tra loro contrastanti: (1) la quantità di informazione indipendente che può essere raccolta dipende dalle dai parametri geometrici del dominio di ricerca; (2) il numero di incognite definisce la discretizzazione del dominio d?indagine, che deve essere sufficientemente ‘fine’ in modo tale da permettere l'inversione dei dati attraverso il Level Set. L'obiettivo del progetto é quello di implementare un algoritmo "ottimo" per la soluzione del problema diretto legato alla soluzione di prova. In particolare, il calcolo del campo elettrico scatterato deve essere effettuato in modo tale da utilizzare una discretizzazione tanto fine quanto necessario, comunque differente da quella utilizzata per la funzione contrasto. Il direct solver ottenuto dovrá essere utilizzato sia per la soluzione dell'adjoint problem, che per il calcolo del campo scatterato relativo alla soluzione di prova.

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